納得いかない

ネットでも時々盛り上がるネタである、このタイトル。証明自体は学校で習うものの、どうも納得いかないという人も多い。

いくら9をつけても1とは別の数のはず…

高校から勉強しなおせとの声も聞こえてくるが、この問題には無限論も絡んでくるため、それほど簡単ではないように思える。本稿では本当に0.999...が1になるのかを考察してみる。

おさらい

とりあえずは、学校で習った証明方法をおさらいする。

なんとなく「無限桁目」の数が無視されているような印象を受ける人もいるだろう。こうした違和感がつきまとうのは、ある意味正常である。ここではまず、「...」が何を意味しているのかをはっきりさせたい。

定義

もう少し厳密に、「0.999...」を数式を使って書き記したい。そこで次のように定義しなおす。

nは9のつく桁数に相当する。例えばnを10で打ち切れば0.9999999999と10個の9がつく。注意したいのは、nが100だろうと1000だろうと、X(n)は1にはならないことである。それどころか任意の整数nにおいて、X(n)≠1が成立する。

極限

ここで極限 lim の意味を思い出したい。 と記述した場合、

『nがAとは異なる値を持ちながらAに限りなく近づくとき、X(n)はYに限りなく近づく。この時 の値をYとする。』

というのが極限の考え方である。あくまで近づくだけであり、X(n)がYの値を持つわけではない。そしてlimという記号を用いた場合、その収束先（漸近する値）を解とするのだ。

無限

もう１点、Aが∞である場合だが、これはもはや「数」ではない。『無限』とは「ものすごく大きい数」などではなく、どちらかといえば「いくらでも大きくして良い」というある種の『ルール』だと考えるべきなのだ。極限においてAが∞であったときは

『nを限りなく大きくしていく場合、X(n)はある数値に近づく。その数値を答えよ。』

と解釈すべきである。

本題

では、0.999...の話に戻ろう。この数字を極限の定義で考えるならば、どうなるか。

『0.9999999...と9を限りなく増やしていった場合、その数字は1とは異なる値を取りながら 1に限りなく近づく。すなわち、その収束先は1である。』

極限limとはその収束先を答えるものなので、0.999...=1とイコールで結んでしまって良い。これは決して近似(≒)などではない。定義である。

では、ここでいくつか問題を。

問題は、本稿では「0.999...」を極限で書き換えてしまったことである。「...」という表記が数学的に不明瞭なことがそもそもの原因であり、異なる定義も存在しうることに注意したい。ちなみに「無限論の教室」という本では 0.999...≠1 であると明記してある。