夜空を見上げて思うこと

なぜ夜空は暗いのか？　当然のこと・・・？　そう、確かに夜側に太陽はない。そのため夜空は真っ暗である。しかし考えても見よう。この宇宙には太陽より遥かに明るい星が無数にある。それらの光は常に地球に降り注いでいる。それでも夜空が暗いのはどうしてだろう？

無限の光が降り注ぐ

では実際に、夜空の星から地球に降り注ぐ光の量を計算しよう。ここで、強力な仮定をいくつかおく。

1. 宇宙は無限かつ等方的
2. 恒星は宇宙空間に一様に分布
3. 光は地球以外に吸収されない
4. 宇宙に始まりはない

上記の証明を視覚的に説明すると、以下のようになります。

真ん中の小さいのが地球だとして・・・黄色の球面上にある星から届く光と、オレンジ色の球面上にある星から届く光の量は一緒ですよ、ということを式で証明したわけです。で、宇宙が無限大に広がってるなら・・・？ 無限の球面の光を足していくことになるので届く光も無限になる、という話です。

オルバースのパラドクス

夜空が明るいことが証明されたわけですが、しかし、見上げてみれば分かるとおり、夜空は真っ暗。これをオルバースのパラドクスと呼ぶ。現実と違う結果が得られた以上、「何か」が間違っているのは確かである。

では何が間違って・・・・と、ここまで書いて少し後悔。難しすぎてもはや全然「雑話」じゃないことに気づいた。しかしここまで書いたからには最後まで考察しよう。

† 仮定の解説 †

何か矛盾が生じたならば、仮定を疑うのが当然のこと。しかし、今回は仮定が多いのです。あってもなくても結果が変わらないものもあります。どれが 「致命的に」 間違っているのかを、指摘しなければなりません

１．宇宙は無限かつ等方的

宇宙は人知が及ばないほどの広さですが 極めて広い＝無限 と仮定していいのかどうか。

２. 恒星は宇宙空間に一様に分布

「地球から近い領域ほど星が少ない」などということがない限り、答えが変わったりはしないと考えられます。「地球は特別な場所にいるわけではない」妥当な仮定だと思われます。

３. 光は地球以外に吸収されない

一見、無茶苦茶な仮定です。しかし、「黒体輻射」という概念を使うと近似的に成立する、というロジックらしいです。物質は 電磁波（光）を放出します。そして温度が高いほど放出するエネルギーが高くなります。次の４の仮定を使いますが、無限の時間を考えれば吸った光と同等の光を放出し、エネルギー収支は０になります

４. 宇宙に始まりはない

例えば宇宙が始まって１５０億年だとすると、１５０億光年より遠い場所にある光は届きません。「無限遠方にある星の光も届く」という仮定です。

仮定の要約

整理するはずが、さらにややっこしくしてしまった・・・。ものすごい大雑把にまとめると

• １と４により、無限遠方からも光が届く
• ２と３により、若干の光の増減があったとしても、無限の光が有限の値まで減少したりはしない

２は特に問題ないと思います。地球が特別な場所にあると考えるほうが不自然ですから。

３はちょっと微妙です。「黒体輻射」による光の放射は非常にゆっくりです。普通の時間スケールで考えたら正しくありません。しかし、４の無限の時間を仮定して初めて妥当だと言えます。現在の宇宙の年齢は大雑把に１５０億年。「黒体輻射」の時間スケールから見て無限と仮定してよいか、また別問題となります。とりあえず保留で。

１の仮定。どう思いますか？ 数百億光年という広さを、無限と仮定するのが妥当かどうか・・・

したがって、宇宙は無限ではなく、有限である

確かにそうなら、パラドクスは崩れます。こう結論してしまってよいのでしょうか？「宇宙は無限」という仮定は重要な要素ではあります。しかし、もうひとつ大きな仮定があるのを忘れてはなりません。

４の仮定「宇宙に始まりはない」。この中には、極めて大きな仮定が含まれています。言い換えると「現在の宇宙は、無限の時間を経過している」ということなのです。

思考実験

ではもし　宇宙が無限ではなく有限で ２．３．４. のみを仮定したら、光の量も有限になるのか？

ここで思考実験です。宇宙が非常に小さく、地球と恒星１個しかなかった場合を考えます。そして宇宙が「左に行くと右から出てきて、上から行くと下から出てくる世界」 だと考えてください（周期境界条件と言います）。地球の体積は宇宙の大きさから見たら０に等しいほど小さいとします

上の白い丸が恒星、下の青い点が地球です。さて、どういう経路で光が届くと思いますか？素直に考えると次のようになりますね。

白い線が光の経路だと思ってください。とりあえず、これが誰でもわかる解答ですが、しかし これだけじゃありません。何しろ「右から行ったら左から出てくる」世界です。こういうのもアリです。

それがありなら・・・と、いろいろ考えられます。例えば

これだっていいわけですね。さらには・・・

こ～んなのも、ありです。組み合わせはまさに「無限通り」あります

無限の光

では経路が違う光を地球から見た場合、どう見えると思いますか？ そう、あたかも違う場所にある恒星に見えるはずです。最短で来た光は、「すぐ近くにある星」のように見え、遠回りした光は、「遠くにある星」だと思うわけです。そして無限通りの経路がある、ということは 『無限の光が降り注ぐ状態』 にあるのです。しかし、恒星が発している光は有限です。

なぜ無限の光が存在するのか・・・

見ている光は同じ時間に放出したものではありません。最短ルートの光は、ほんの少し前のものですが、遠回りした光はかなり昔に発した光だと思われます。そして・・・「無限に遠回りした」光は「無限時間前に発せされた」光なのです。それらを一気に受け取ることで無限の光になるわけですね

こっちに見える光は最近発した光
そっちに見える光はちょっと前の光
あっちに見える光はかなり前の光
むこうに見える光はすっごく前の光・・・

隠された第５の仮定

無限の光の正体、わかりましたか？ ここに隠された第５の仮定の存在に気づきます。

5. 恒星は無限に光を放出し続ける

無限のエネルギーが降り注ぐには　無限のエネルギー源が必要です。４で「無限の時間が経過した」と仮定しました。問題は「その間の無限時間、恒星は光を発し続けた」として計算してしまったことが、パラドクスを生んでいたと考えられます。